]> 二項係数の拡張

一般化された二項係数

１. 二項係数と二項級数

自然数 $n$ と，実数 $x$ と $y$ に対して， ${(x + y)}^{n}$ は次のように有限な長さの二項級数に展開される．このときの係数が二項係数である。

{(x + y)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) x^{k} y^{n - k}

ここで、二項係数は、

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = {}_{n}C_{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!}

である。

$y \neq 0$ として両辺を $y^{n}$ で割り， $x / y \to x$ と置き直すと次式となる．

{(1 + x)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) x^{k}

2. 一般化された二項係数と二項級数への拡張

複素数 $z$ と $α$ に対して， $f (z) = {(1 + z)}^{α}$ を考える．このとき、関数 $f$ の $k$ 次微分は $Γ$ 関数を用いると、

\frac{ⅆ^{k} f}{ⅆ z^{k}} = f^{(k)} (z) = α (α - 1) (α - 2) \dots (α - k + 1) {(1 + z)}^{α - k} = \frac{Γ (α + 1)}{Γ (α - k + 1)} {(1 + z)}^{α - k}

となる。 $f (z) = {(1 + z)}^{α}$ のマクローリン展開は次のようになる．

{(1 + z)}^{α} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} f^{(k)} (0) z^{k}

以上により次の関係が成立する．これは一般化された二項級数と呼ばれ、このの係数が一般化された二項係数と呼ばれる。

{(1 + z)}^{α} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\begin{matrix} α \\ k \end{matrix}) z^{k}

ここで、一般化された二項係数は、複素数 $α$ と非負整数 $k$ にたいして、つぎのようになる。

(\begin{matrix} α \\ k \end{matrix}) = \frac{Γ (α + 1)}{Γ (k + 1) Γ (α - k + 1)}

$α$ が非負整数でないとき、級数は無限級数となる。しかし、たまたま $α$ が非負整数であるときには， $0, - 1, - 2, \dots$ の $α - k + 1$ の値で， $1 / Γ (α - k + 1) = 0$ となり，その結果，一般化された二項級数は有限の長さのもともとの二項級数となる．

ご意見はE-Mail でお願いします。First presented on May 31, 2007, and Last updated by Y. Kanai on Apr. 14, 2009. 金井泰憲