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三角関数、指数関数と複素数

マクローリン展開を適用してもよいが、そこまでしなくても、三角関数、指数関数の微分が理解できれば、それらの関数の無限級数展開を導くことができる。級数の形をつぎのようにする。

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}, a_{n}, x \in ℝ (1)

1. 指数関数の級数展開

実数 $x$ に対する指数関数 $f (x) = e^{x}$ の微分は、つぎのようになる。

\frac{ⅆ}{ⅆ x} f (x) = e^{x} = f (x)

そこで、 $(1)$ 式にこの関係を適用すると、つぎの漸化式を得る。

a_{n} = (n + 1) a_{n + 1}

$f (0) = 1$ であるから、 $a_{0} = 1$ となり、指数関数の級数展開としてつぎの無限級数を得る。

e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{n} = 1 + x + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{4!} x^{4} + \frac{1}{5!} x^{5} + \dots (2)

正弦関数 $f (x) = sin (x)$ と余弦関数 $f (x) = cos (x)$ の微分はつぎのようになる

\frac{ⅆ}{ⅆ x} sin (x) = cos (x), \frac{ⅆ}{ⅆ x} cos (x) = - sin (x)

そこで、 $(1)$ 式にこの関係を適用すると、つぎの漸化式を得る。

a_{n} = - n (n + 1) a_{n + 2}

初期値はつぎの通りである。

f (0) = a_{0} = \{\begin{matrix} 0 & sin のとき \\ 1 & cos のとき \end{matrix}

f^{'} (0) = a_{1} = \{\begin{matrix} 1 & sin のとき \\ 0 & cos のとき \end{matrix}

これらから、つぎのように正弦関数と余弦関数の級数展開が得られる。

\begin{matrix} sin (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{1}{(2 n + 1)!} x^{2 n + 1} = x - \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} - \dots (3) \\ cos (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{1}{(2 n)!} x^{2 n} = 1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} - \dots (4) \end{matrix}

$(2)$ 式で、 $x \to ⅈ x, ⅈ = \sqrt{- 1}$ と置き換えると、その結果はつぎのようになる。

e^{ⅈ x} = 1 + ⅈ x - \frac{1}{2!} x^{2} - ⅈ \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} x^{4} + ⅈ \frac{1}{5!} x^{5} - \dots = cos (x) + ⅈ sin (x)

したがって、つぎのオイラーの公式を得る。

ここで、 $e^{ⅈ x}$ を複素三角関数とよぶ。

{|e^{ⅈ x}|}^{2} = (cos (x) + ⅈ sin (x)) (cos (x) - ⅈ sin (x)) = {cos}^{2} (x) + {sin}^{2} (x) = 1

これより、 $|e^{ⅈ x}| = 1$ である。すなわち、 $e^{ⅈ x}$ は、複素平面上で原点を中心とした単位円上にある。

複素三角関数を使って、実三角関数がつぎのように定義される。

cos (x) = \frac{e^{ⅈ x} + e^{- ⅈ x}}{2}, sin (x) = \frac{e^{ⅈ x} - e^{- ⅈ x}}{2 ⅈ}

e^{ⅈ α x} = {(cos (x) + ⅈ sin (x))}^{α} = cos (α x) + ⅈ sin (α x), α \in ℝ (6)

$n$ 乗すると $1$ になる数（複素数）は、つぎのように $n$ 個ある。

ω_{k} = e^{2 π k ⅈ / n}, k = 0, 1, 2, \dots, n - 1

これらが $z^{n} - 1 = 0$ の相異なる根であるから、 $z^{n} - 1$ はつぎのように因数分解できる。

z^{n} - 1 = (z - ω_{0}) (z - ω_{1}) (z - ω_{2}) \dots (z - ω_{n - 1})

e^{π ⅈ} = - 1, ∴ e^{π ⅈ} + 1 = 0

ⅈ = e^{(1 / 2 + 2 n) π ⅈ}, \forall n \in ℤ ∴ \sqrt{ⅈ} = e^{(1 / 4 + n) π ⅈ} = \pm \frac{1 + ⅈ}{2} \sqrt{2}

ⅈ = e^{(1 / 2 - 2 n) π ⅈ}, \forall n \in ℤ ∴ ⅈ^{ⅈ} = e^{(2 n - 1 / 2) π}

First presented on 2007/05/23, Last updated on 2007/06/23