GF(2)上多項式の因数分解

の、「第１章 §7 ガロア体上の多項式の因数分解」の一部（p.55～p.60）を少し改変かつ補足したものである。この本は、基礎を重視した優れたものであるが、現在（2007年7月時点）では残念ながら絶版となっている。

ガロア体

G F (2)

上で与えられた

n

次多項式

f (x)

が既約か否かを判定すること、あるいはさらに

f (x)

を既約因数に分解することは、応用上あらゆる分野で必要とされる。幸いにして、全部の場合を尽くすといったブルトーザ的な方法でないアルゴリズムが、E. R. Berlekamp[2]の卓抜なアイディアによって開発されている。

G F (2)

上の

n

次多項式の既約性は、簡単には、

⌊ n / 2 ⌋

次以下のすべての既約多項式で割り切れるかどうかを調べればよいのだが、その方法では

n

が大きくなるにつれ指数関数的に計算量が増大してしまう。そのため、多項式時間の計算量におさまる解法アルゴリズムが求められる。

定理-1

$G F (2)$ 上 $n$ 次多項式 $f (x)$ が、

\begin{matrix} (1) & f (x) = {p_{1} (x)}^{e_{1}} {p_{2} (x)}^{e_{2}} \dots {p_{r} (x)}^{e_{r}} (p_{i} (x) は G F (2) 上既約多項式、 e_{i} \geq 1, p_{1} (x), p_{2} (x), \dots, p_{r} (x) はすべて異なる) \end{matrix}

と既約分解されているとすると、

\begin{matrix} (2) & {g (x)}^{2} - g (x) \equiv 0 (mod f (x)) \end{matrix}

を満たす $n - 1$ 以下の多項式 $g (x)$ はちょうど $2^{r}$ 個存在する。

[証明]

任意に与えられた $s_{1}, s_{2}, \dots, s_{r} \in G F (2)$ に対して

\begin{matrix} (3) & g (x) \equiv s_{i} ({mod p_{i} (x)}^{e_{i}}) (i = 1 2 \dots r) \end{matrix}

を満たす $n - 1$ 次以下の多項式 $g (x)$ がただ一つ存在し、また異なる $(s_{1} s_{2} \dots s_{r})$ と $(s_{1}^{'} s_{2}^{'} \dots s_{r}^{'})$ に対して $(3)$ でそれぞれ決まる $g (x)$ 、 $g^{'} (x)$ が等しくなることはない。

さて $(3)$ で決まる $g (x)$ に対して、 $g (x) - s_{1}, g (x) - s_{2}, \dots, g (x) - s_{r}$ の最小公倍数 $[g (x) - s_{1} g (x) - s_{2} \dots g (x) - s_{r}]$ は $f (x)$ の倍数である（ $g (x) - s_{i}$ が ${p_{i} (x)}^{e_{i}}$ の倍数で $i \neq j$ に対して ${p_{i} (x)}^{e_{i}}, {p_{j} (x)}^{e_{j}}$ は互いに素だから）。

ところがもし $s_{i} \neq s_{j}$ ならば $g (x) - s_{i}$ と $g (x) - s_{j}$ とは互いに素であるから、

\begin{matrix} (4) & [g (x) - s_{1} g (x) - s_{2} \dots g (x) - s_{r}] ∣ \prod_{s \in G F (2)} (g (x) - s) \end{matrix}

そして

\begin{matrix} (5) & \prod_{s \in G F (2)} (g (x) - s) = {g (x)}^{2} - g (x) \end{matrix}

（ $G F (2)$ の特性多項式は $x^{2} - x$ であるから $\begin{matrix} (6) & \prod_{s \in G F (2)} (x - s) = x^{2} - x \end{matrix}$ となるが、このことは、左辺を展開してみればわかるように、 $x$ の代りにどんな関数を置きかえても $(6)$ が成り立つことを示している。）

だから $(3)$ で決まる $g (x)$ は $(2)$ の解であり、逆に $(2)$ 成り立てば $(1)$ と $(5)$ から、 $g (x)$ は $(2)$ の解であり、逆に $(2)$ が成り立てば $(1)$ と $(5)$ から、 $g (x)$ は各 $i = 1, 2, \dots, r$ に対する ${p_{i} (x)}^{e_{i}}$ と適当な $s_{i} \in \in G F (2)$ に対して $(3)$ を満たす、 $s_{1}, s_{2}, \dots s_{r}$ の与え方は $2^{r}$ 通りあるから、 $(2)$ の解はちょうど $2^{r}$ である。▮

われわれはもちろん

f (x)

を与えられたとき、

(1)

のような分解は知らない（これこそが求めるものだから）。ところが

(2)

の解を求めることは以下のように比較的簡単である。定理-1は多くの内容をもつが、（

r

によらない）

(2)

を解くことによって自動的に

r

がわかるというところに、その第１の価値があると思われる。

定理-2

$n - 1$ 次以下の $G F (x)$ 上の多項式

\begin{matrix} (7) & g (x) = g_{0} + g_{0} x + \dots + g_{n - 1} x^{n - 1} (g_{i} \in G F (2)) \end{matrix}

が $(2)$ の解である必要十分条件は、

\begin{matrix} (8) & x^{2 i} = a_{i 0} + a_{i 1} x + \dots + a_{i, n - 1} x^{n - 1} (mod f (x) i = 0, 1, \dots, n - 1 a_{i j} \in G F (2)) \end{matrix}

で決まる $n \times n$ 行列 $A = [a_{i j}]$ を考えるとき、

\begin{matrix} (9) & (g_{0} g_{1} \dots g_{n - 1}) (A - I) = 0 (I は n \times n 単位行列) \end{matrix}

である。

[証明]

\begin{array}{l} (10) & {g (x)}^{2} & = \sum_{i = 0}^{n - 1} g_{i} x^{2 i} \\ (11) & \equiv \sum_{i = 0}^{n - 1} g_{i} \sum_{j = 0}^{n - 1} a_{i j} x^{j} (mod f (x)) \\ = \sum_{j = 0}^{n - 1} (\sum_{i = 0}^{n - 1} g_{i} a_{i j}) x^{j} \end{array}

したがって

\begin{matrix} (12) & {g (x)}^{2} - g (x) \equiv 0 (mod f (x)) \Leftrightarrow (g_{0} g_{1} \dots g_{n - 1}) (A - I) = 0 \end{matrix}

によって定理が証明された。▮

定理-1, 2 によって

f (x)

の既約性の判定条件が容易に得られる。つまり

(9)

なる方程式を

g_{0}, g_{1}, \dots g_{n - 1}

について解くとき、

A - I

の

G F (2)

上のランクが

n - 1

ならば、-- あるいはそれと同値な条件として解の個数が

2

ならば --

r = 1

。したがって

f (x)

は既約多項式の累乗であり、そうでなければ既約でない。これらをまとめるとつぎの定理を得る。

定理-3: 既約性の判定

$(9)$ の解の個数を $2^{r}$ とするとき、 $r = 1$ ならば $F (x)$ は $G F (2)$ 上既約多項式の累乗であり、 $r \geq 2$ ならば $F (x)$ は既約でない。

例

G F (2) の上で x^{7} + x + 1

は既約か？

(g_{0} g_{1} \dots g_{6}) (A - I) = 0

の解は、

(g_{0} 000000)

となるので解の個数は

2^{r} = 2^{1}

、

r = 1

となる。したがって

f (x)

は既約多項式の累乗、つまり既約多項式を

p (x)

とすると、

であるから、

f (x)

と

f^{'} (x)

の最大公約多項式は、ユークリッドの互除法を使った

の計算から

1

となり、したがって

k = 1

、すなわち

f (x)

は既約であると結論できる。

G F (2) の上で x^{7} + x^{5} + x^{3} + x^{2} + 1

は既約か？

これより、

g_{0} = θ_{1}, g_{6} = 0, g_{1} = g_{2} = g_{5} = θ_{2}, g_{3} = g_{4} = θ_{3} (θ_{1}, θ_{2}, θ_{3} \in G F (2))

となり、求める解は

2^{3}

個ある。

r = 3

となり、したがって

f (x)

は既約でない（可約である）。

さて定理-1,2 は単に既約性の判定のための基礎理論を与えるだけではなく、

f (x)

を実際に因数分解する手段を提供する。

$G F (2)$ 上の多項式の因数分解

定理-1

[証明]

定理-2

[証明]

定理-3: 既約性の判定

例

$G F (2) の上で x^{7} + x + 1$ は既約か？

$G F (2) の上で x^{7} + x^{5} + x^{3} + x^{2} + 1$ は既約か？

参考文献

GF ⁡ 2 上の多項式の因数分解

定理-1

[証明]

定理-2

[証明]

定理-3: 既約性の判定

例

GF⁡ 2 の上で x7+ x+ 1 は既約か？

GF⁡ 2 の上で x7+ x5+ x3+ x2+ 1 は既約か？

参考文献

$G F (2)$ 上の多項式の因数分解

$G F (2) の上で x^{7} + x + 1$ は既約か？

$G F (2) の上で x^{7} + x^{5} + x^{3} + x^{2} + 1$ は既約か？